Kumpulan Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika Beserta Pembahasan Jawaban
Soal barisan dan deret aritmatika merupakan materi Matematika SMA kelas X dan X1 yang membahas terkait pola susunan bilangan. Dalam kehidupan sehari-hari, barisan objek akan membentuk pola barisan salah satunya adalah barisan aritmatika yang memiliki beda dua suku berurutan adalah sama. Soal materi Barisan dan deret aritmatika sering keluar dalam ujian akhir sekolah SMA, tes SBMPTN, Seleksi Cpns dan seleksi lainnya.
Berikut ini contoh soal Barisan dan deret aritmatika
1. Tentukan berapakah suku ke-n dari deret barisan bilangan di bawah ini:
a) 5, 2, -1, -4, -7, … Tentukan berapakah nilai pada suku ke-19
b) 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Tentukan berapakah nilai pada suku ke-16
Pembahasan Jawaban:
a) 5, 2, -1, -4, -7, …
Barisan bilangan di atas merupakan barisan aritmatika dengan nilai berikut:
a = U1 = 5
b = U2 – U1 = 2 – 5 = -3
Maka, bilangan pada suku ke-19
Un = a + (n – 1) b
U19 = 5 + (19 – 1) . -3
U19 = 5 + (18) . -3
U19 = 5 + (-54)
U19 = -49
b) 1, 3, 5, 7, 9, 11, …
Barisan bilangan di atas merupakan barisan aritmatika dengan nilai berikut:
a = U1 = 1
b = U2 – U1 = 3 – 1 = 2
Maka, bilangan pada suku ke-16
Un = a + (n – 1) b
U16 = 1 + (16 – 1) . 2
U16 = 1 + (15) . 2
U16 = 1 + 30 = 31
2. Tentukan berapakah banyak suku dari pola barisan aritmatika di bawah ini:
a) -3, -7, -11, -15, …, -107
b) 4, 9, 14, 19, …, 104
c) 72, 66, 60, 54, …, 12
d) -12, -8, -4, …, 128
Pembahasan Jawaban:
a) -3, -7, -11, -15, …, -107
Un = a + (n – 1) b
-107 = -3 + (n – 1) -4
-107 = -3 + 4 - 4n
-107 = 1 – 4n
4n = 1 + 107
4n = 108
n = 27
b) 4, 9, 14, 19, …, 104
Un = a + (n – 1) b
104 = 4 + (n – 1) 5
104 = 4 + 5n – 5
104 = -1 + 5n
5n = 105
n = 21
c) 72, 66, 60, 54, …, 12
Un = a + (n – 1) b
12 = 72 + (n – 1) -6
12 = 72 + 6 - 6n
-6n = - 66
n = 11
d) -12, -8, -4, …, 128
Un = a + (n – 1) b
128 = -12 + (n – 1) 4
128 = -12 – 4 + 4n
4n = 144
n = 36
3. Diketahui suku ke-3 dari suatu deret aritmatika adalah 17 sementara suku ke-7 adalah 37. Tentukan jumlah 30 suku pertama dari deret aritmatika tersebut.
Diketahui:
U3 = 17
U7 = 37
:
Un = a + (n – 1) b
U3 = a + (3 – 1) b
17 = a + 2b … (1)
U7 = a + (7 – 1) b
37 = a + 6b … (2)
Pertama-tama persaman (1) dan (2) dieliminasi terlebih dahulu
17 = a + 2b
37 = a + 6b
__________-
-20 = -4b
b = 5
Selanjutnya untuk mencari nilai a atau U1 dengan mensubstitusi nilai b ke persamaan (1) atau (2) di atas.
17 = a + 2b
17 = a + 2 (5)
a = 7
Untuk menghitung jumlah 30 suku pertama dengan menggunakan rumus deret aritmatika:
Sn = ½ n (2a + (n – 1) b)
Sn = ½ . 30 (2 (7) + (30 – 1) 5)
Sn = 15 (14 + (29) 5)
Sn = 15 (159) = 2385
4. Diketahui bahwa suku ke-50 dari barisan aritmatika adalah 203 sementara suku ke-4 barisan aritmatika sebesar 19. Tentukan berapakah nilai pada suku ke-7.
Diketahui:
U50 = 203
U4 = 19
Jawab:
Untuk mengetahui nilai pada suku ke-7 bisa dihitung menggunakan rumus barisan aritmatika sebagai berikut:
Un = a + (n – 1) b
U4 = a + (4 – 1) b
19 = a + 3b
U50 = a + (50 – 1) b
203 = a + 49b
Dua persamaan yakni:
19 = a + 3b
203 = a + 49b
dihitung menggunakan metode eliminasi persamaan dua variabel.
19 = a + 3b
203 = a + 49b
___________ -
-184 = -46b
b = 4
Nilai a atau U1 bisa dihitung dengan metode substitusi.
19 = a + 3b
19 = a + 3 (4)
19 = a + 12
a = 7
Maka nilai barisan aritmatika pada suku ke-7 adalah:
Un = a + (n – 1) b
U7 = a + (7 – 1) b
U7 = 7 + (6) 4
U7 = 7 + 24 = 31
5. Setiap hari adek menabung sisa dari uang jajan sekolahnya. Uang yang ditabung oleh adek selama 7 hari mengikuti pola barisan aritmatika. Uang jajan yang ditabung di hari pertama sebanyak Rp 1500. Beda uang yang ditabung setiap hari adalah Rp 1000.
Tentukan berapa banyak uang adek yang ditabung di hari ke-7.
Diketahui:
a = Rp 1500
b = Rp 1000
Jawab:
Untuk menentukan berapa banyak uang adek yang ditabung di hari ke-7, maka bisa menggunakan rumus barisan aritmatika sebagai berikut:
Un = a + (n – 1) b
U7 = 1500 + (7 – 1) 1000
U7 = 1500 + (6) 1000
U7 = 1500 + 6000
U7 = 7500
Adek menabung uang jajannya di hari ke-7 sebesar Rp 7500.
6. Diketahui suatu barisan aritmatika membentuk deret aritmatika berikut:
a + (a + 2) + (a + 4) + … + 68 = 1170.
Apabila diketahui bahwa a merupakan bilangan bulat positif, tentukan berapakah nilai a pada barisan bilangan di atas.
Diketahui:
Sn = 1170
Un = 68
U1 = a
b = U2 – U1 = 2
Pembahasan Jawaban:
Pertama-tama, tentukan nilai a dengan memasukkan nilai suku ke-n barisan bilangan aritmatika yakni 68 ke rumus barisan bilangan sebagai berikut:
Un = a + (n – 1) b
68 = a + (n – 1) 2
68 = a + 2n – 2
a + 2n = 70
a = 70 – 2n
Selanjutnya substitusikan jumlah n suku pertama yakni 1178 ke rumus deret aritmatika sebagai berikut:
Sn = ½ n (a + Un)
Sn = ½ n (a + a + (n – 1) b)
Sn = ½ n (2a + (n – 1) b)
1170 = ½ n (2a + (n – 1) 2)
1170 = n (a + (n – 1))
Selanjutnya nilai a = 70 – 2n disubstitusikan ke rumus deret aritmatika di atas sehingga membentuk persamaan di bawah ini:
1170 = n (70 – 2n + (n – 1))
1170 = 70n – 2n² + n² – n
1170 = – n² + 69n
n² - 69n + 1170 = 0
Selanjutnya cukup dicari akar-akar dari persamaan kuadrat di atas:
n² - 69n + 1170 = 0
(n – 30) (n – 39) = 0
Didapatkan akar n = 30 atau n = 39.
Untuk mendapatkan nilai a dengan substitusi akar n di atas ke dalam persamaan di bawah:
a = 70 – 2n
Jika n = 30, maka:
a = 70 – 2 (30) = 10
Jika n = 39, maka:
a = 70 – 2 (39) = -8
Diketahui bahwa a merupakan bilangan bulat positif sehingga nilai n yang memenuhi adalah n = 30 dengan nilai suku pertama (a) adalah 10.
7. Tentukan berapakah jumlah bilangan bulat yang ada di antara angka 1 dan 100 yang habis dibagi oleh 9.
Pembahasan Jawaban:
Pertama-tama dilihat dulu bilangan bulat yang habis dibagi oleh 9 di antara 1 dan 100 yakni:
9, 18, 27, 36, …, 99
Bisa dilihat dari barisan bilangan di atas membentuk bilangan aritmatika di mana:
a = U1 = 9
b = U2 – U1 = 9
Un = 99
Untuk menentukan berapakah nilai n, bisa menggunakan rumus barisan aritmatika:
Un = 99
99 = a + (n – 1) b
99 = 9 + (n – 1) 9
99 = 9 + 9n – 9
99 = 9n
n = 11
Untuk menghitung jumlah bilangan bulat yang habis dibagi 9, maka menggunakan rumus deret aritmatika sebagai berikut:
Sn = ½ n (a + Un)
S11 = ½ . 11 (9 + 99)
S11 = ½ . 11 . 108
S11 = 594
8. Diketahui suku ke -4 suatu barisan aritmatika adalah 110 dan suku ke-9 adalah 150. Tentukan berapakah suku ke-20 dan suku ke-35 dari barisan aritmatika tersebut.
Diketahui:
U4 = 110
U9 = 150
Pembahasan Jawaban:
Un = a + (n – 1) b
110 = a + 3b
150 = a + 8b
dihitung menggunakan metode eliminasi persamaan dua variabel.
110 = a + 3b
150 = a + 8b
___________ -
-40 = -5b
b = 8
Selanjutnya substitusi nilai variabel b untuk mendapatkan nilai a.
110 = a + 3b
110 = a + 24
a = 76
Un = 76 + (n – 1) 8
U20 = 76 + (20 – 1) 8
U20 = 228
U35 = 76 + (35 – 1) 8
U35 = 348
9. Tentukan berapakah jumlah dari deret aritmatika di bawah ini:
3 + 9 + 15 + 21 + … hingga 19 suku
Jawab:
a = 3
b = U2 – U1
b = 9 – 3 = 6
Sn = ½ n (2a + (n – 1) b)
Sn = ½ . 19 (2 (3) + 18 . 6)
Sn = 1083
Dengan mencoba mengerjakan kumpulan soal barisan dan deret aritmatika, dijamin akan menambah pemahaman terkait materi tersebut. Barisan aritmatika merupakan barisan bilangan dengan beda suku berurutan sama. Siswa harus memahami rumus suku ke-n barisan aritmatika untuk mengerjakan soal.